Mathématiques de base Exemples

$\frac{y + 7}{y^{2} - y - 12} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} - y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(y + 4) (y - 4) (y + 3)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y + 7) (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(y + 7) (y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y + 4) + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} + 4 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{y^{2} + 4 y + 7 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4 y$ et $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 5 \cdot 3}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.5

Soustrayez $5 y$ de $11 y$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 28 - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Étape 6.6

Soustrayez $15$ de $28$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 13}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$